相似三角形2 A卷 窗体顶端 1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（） A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′ 2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（） A．30°B．50°C．40°D．70° 3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 4、如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（） A．1对B．2对C．3对D．4对 5、△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（） A．B．C．D． 6、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（） A．200cm B．200dm C．200m D．200km 7、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（） A．B．C．D． 8、若则下列各式中不正确的是（） A．B．C．D． 9、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（） A．B．C．D． 10、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（）
A．8：3B．3：8 C．8：5D．5：8 B卷 1、计算 （1）若求的值. （2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值. 2、如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来. 3、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN. 4、如图：某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，以给人一种和谐的感觉，这样的四个矩形怎样画出来？ 窗体底端
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
第2题A C B 练习 A 组 1、已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=70°，求∠A 、∠C 的度数。 解：∵AB=AC ，∠B=70° ∴∠ =∠ = （等边对 ） ∵∠A+∠ +∠ =180° ∴∠A=180°- - = 答：∠A 的度数为 ，∠C 的度数为 思考：若将∠B=70°改为∠B=90°或∠B=100°时∠A 、∠C 的度数为多少？ 答： 2、已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，求∠B 、∠C 的度数。 解：∵AB=AC ，∠A=80° ∴∠ =∠ = 答：∠B 的度数为 ，∠C 的度数为 ； 说明：完成第1、2小题后，让学生对比，两题的的特点，第1小题是已知底角求顶角，第2小题已知顶角求底角。 知识应用 A 组 1、在△ABC 中， ∵∠A ＝70°，∠B ＝55°，∠C ＝55°， ∴∠ ＝∠ ， 则AB ＝ （ ） ∴△ABC 是 三角形 2、在△ABC 中，
∵∠A＝70°，∠B＝40°， ∴∠C＝70° ∴∠＝∠， ∴AB＝ （） 3、在△ABC中， ∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴∠＝∠= 度 （） 4. 在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形。你的理由是什么？ 解：∵在△ABC中， ∠A+∠B+∠C＝ ∴∠C＝－－＝ ∴∠＝∠ ∴＝ （） ∴△ABC是三角形 、在△ABC中， ∵∠B＝∠C，且∠B＝60° ∴∠C＝，∠A＝ ∴ ∴△ABC是三角形 B组 6、△ABC中，∠C＝∠B，∠A＝2∠B，请你判断△ABC是什么三角形 解：∵△ABC中，∠B＝∠C
∴＝ （） ∴△ABC是三角形 又∵∠A+∠B+∠C＝ ∠C＝∠B，∠A＝2∠B 设∠B为x度，则∠C= 度；∠A= 度 ∴+ + =180 ∴＝180 ∴x＝ 即：∠B= ；∠C= ；∠A= ∴△ABC是三角形 7、等腰三角形ABC中，AB=AC，BE、CD分别是∠ABC、 ∠ACB的角平分线，且BE与CD交于O点，那么你能判断△OBC是什么三角形吗？ 解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC ∴∠＝∠（） ∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线 ∴∠EBC＝1 2 ∠DCB＝1 2 ∴∠＝∠ ∴＝ （） ∴△OBC是三角形 8、△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，你能把它分成两个等腰三角形吗？画出来试试看。
八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便.
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定
初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形
等腰三角形（一） 教学目标： 1．等腰三角形的概念. 2．等腰三角形的性质 . 3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点 1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 教学难点 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教具准备：圆规、三角尺、 教学过程 一．提出问题，创设情境 1.①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 2.满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 二．导入新课 1.同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形． A C A B I 作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连结AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形． 思考： (1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． (2)．等腰三角形的两底角有什么关系？ (3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ (4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
(它的两个底角有什么关系？) 3.等腰三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的) 等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 4.[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数． A D C 三．随堂练习 课本P51练习1、2、3． 四．课时小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 五．课后作业 课本P56习题12．3 1、3、4、题． 等腰三角形（二） 教学目标 探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 教学重点： 等腰三角形的判定定理及其应用．探索等腰三角形的判定定理． 教学难点： 等腰三角形的判定定理及其应用． 教学过程 一．提出问题，创设情境 1.等腰三角形有些什么性质呢？ 2.满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
八年级数学全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限 内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1 2 ），且 △ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____． 【答案】-8 3 ． 【解析】 【分析】 先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的 面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13 2 ，故可得出a的值． 【详解】 ∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2， ∴22 3+213 AB＝＝， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴ 1113 ?1313 222 ABC S AB AC?? ＝＝＝， 作PE⊥x轴于E，连接OP， 此时BE＝2﹣a， ∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴ 111 ??? 222 ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++ ＝﹣＝﹣， 111113 3322 22222 a ??+???? ＝（﹣）﹣＝， 解得a＝﹣8 3 ． 故答案为﹣8 3 ．
【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程． 2．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上， 36ABO ∠=?，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个； 线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个． ∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案． 3．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，
2020学年八年级数学练习专题：等腰三角形 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（） A. 43° B. 53° C. 47° D. 90° 2. 等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形底边长（） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 5cm 3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形或直角三角形 D. 以上结论都不对 4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（） A. 110° B. 55° C. 35° D. 不能确定 5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（） A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 54° 二. 填空题： 1. 如果等腰三角形一个角是45°，那么另外两个角的度数为 2. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角的度数是 3. 等腰三角形互相重合 4. 等腰三角形底边长为10，则其腰长x的范围是 5. 等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把这个三角形周长分为两部分，它们的差为3，则腰长为 三. 解答题： 1. 如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD中点，求证：AF⊥CD 2. 如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF
【试题答案】 一. 1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 二. 1. 45°和90°或67.5°和67.5° 2. 70°或55° 3. 顶角角平分线和底边中线和底边高线 4. 大于5 5. 8 三. 1. 连结AC和AD，证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，再利用等腰三角形三线合一 2. 分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF
苏教版八年级数学下册《等腰三角形》 知识点整理 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 (二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
暑假专题——相似三角形 重点、难点： 1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。 2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。 【知识纵横】 1. 相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 议一议： （1）两个全等三角形一定相似吗为什么 （2）两个直角三角形一定相似吗两个等腰直角三角形呢为什么 （3）两个等腰三角形一定相似吗两个等边三角形呢为什么 2. 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC ∽△A'B'C'的相似比k AB A B 1='' ，而△A'B'C'∽△ABC 的相似比k A B AB 2= '' ，这时k k 121=。 3. 相似三角形的识别 （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。 A D E 3 B C 2 1 答：4对
例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似 如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。 B E A C D F 解： B E 例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。 （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5． ∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是
_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10. 故答案为10. 3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上， ∠=?，在x轴或y轴上取点C，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C点有ABO 36 __________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点， 但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 例 2. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=o 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA = B. 4AB =，3BC =，30A ∠=o C. 60C ∠=o ，45B ∠=o ，4AB = D. 90C ∠=o ，6AB = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD=BD，△BCD的周长为17，那么BC的长是（） A．5B．7C．12D．以上都不对 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，则∠DBC等于（） A．∠ABC B．2∠A C．∠A D．∠A 3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（） A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C．AD⊥BC，BD=CD D．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD 4．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（） A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（） A．5B．5或8C．D．4或 6．如图，在△MBC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（） A．7B．8C．9D．10 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED 的周长为（） A．4B．5C．6D．7
9．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED 的度数为（） A．108°B．120°C．126°D．144° 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF； ②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n， =mn．其中正确的结论有（） 则S △AEF A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④11．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m，MN=x，CN=n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定 12．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是．
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2 k ）。 二、典型例题： 例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,, 3 4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80 3 针对练习： 1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3 2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个 例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习： 1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322 cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102 cm B ．142 cm C ．162 cm D ．182 cm 2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。 4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。
