第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总
第八章 图与网络优化练习题答案 一、判断下列说法是否正确 1.在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。( ) 2.若图中某点v i 有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为v j ，则边[v i ，v j ]必不包含在最小支撑树内。( ) 3.若图中从v 1至各点均有惟一的最短路，则连接v 1至其他各点的最短路在去掉重复部分后，恰好构成该图的最小支撑树。( ) 4.求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。( ) 二、有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点连通。下图中标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：hm ）。若电缆线100元/m ，挖电缆沟（深1m ，宽0.6m ）土方30元/m 3，其它材料和施工费用50元/m ，请作出该项工程预算的最少费用。 中央控制室 1 2 4 3 6 5 8 7 9 10 11 15 12 13 14 7 2 4 6 6 12 4 3 11 9 5 8 5 9 8 8 12 10 5 5 2 5 4 10 5 4 6 9 6 8 4 6 7 3 答案： 求出其最小支撑树为： 中央控制室 1 2 4 3 6 5 8 7 9 10 11 15 12 13 14 7 2 4 4 3 5 5 5 5 2 4 5 4 4 3 埋设电缆的最优方案为总长6200m 所以最少工程预算费为6200×(100+0.6×30+50)=元
三、用Dijkstra 标号法求出下图中v 1到各点的最短距离与最短路径。 v 1 v 3 v 6 v 9 v 11 v 2 v 5 v 8 v 4 v 10 v 7 2 8 1 6 1 2 9 1 1 6 7 3 4 7 1 2 9 6 1 5 3 2 答案： 图中的粗线即为v 1到各点的最短路径；v 1到各点的最短距离为图中带 的数字。 四、所给网络中弧旁数字为该弧容量，求网络最大流与最小截集。 v s v 1 v 2 v 3 v 4 v t 13 2 6 6 3 3 4 4 7 15 答案： 第一次迭代： 得增广链：(v s , v 1, v t )；按θ=7调整，如上图。 第二次迭代： v s v 1 v 2 v 3 v 4 v t (13,7) 2 6 6 3 3 4 4 (7,7) 15 (0,+∞) (v s ,13) (v s ,6) (v s ,2) (v 1,4) (v 1,7)
第七章网络安全 7-01 计算机网络都面临哪几种威胁？主动攻击和被动攻击的区别是什么？对于计算机网 络的安全措施都有哪些？ 答：计算机网络面临以下的四种威胁：截获（），中断()，篡改(),伪造（）。 网络安全的威胁可以分为两大类：即被动攻击和主动攻击。 主动攻击是指攻击者对某个连接中通过的进行各种处理。如有选择地更改、删除、 延迟这些。甚至还可将合成的或伪造的送入到一个连接中去。主动攻击又可进一步 划分为三种，即更改报文流；拒绝报文服务；伪造连接初始化。被动攻击是指观察和分析某一个协议数据单元而不干扰信息流。即使这些数据对 攻击者来说是不易理解的，它也可通过观察的协议控制信息部分，了解正在通信的协议 实体的地址和身份，研究的长度和传输的频度，以便了解所交换的数据的性质。这种被 动攻击又称为通信量分析。 还有一种特殊的主动攻击就是恶意程序的攻击。恶意程序种类繁多，对网络安全威胁 较大的主要有以下几种：计算机病毒；计算机蠕虫；特洛伊木马；
逻辑炸弹。 对付被动攻击可采用各种数据加密动技术，而对付主动攻击，则需加密技术与适当的 鉴别技术结合。 7-02 试解释以下名词：（1）重放攻击；（2）拒绝服务；（3）访问控制；（4）流量分析； （5）恶意程序。 答：（1）重放攻击：所谓重放攻击（）就是攻击者发送一个目的主机已接收 过的包，来达到欺骗系统的目的，主要用于身份认证过程。（2）拒绝服务：( )指攻击者向因特网上的服务器不停地发送大量 分组，使因特网或服务器无法提供正常服务。 （3）访问控制：（）也叫做存取控制或接入控制。必须对接入网络的权限 加以控制，并规定每个用户的接入权限。 （4）流量分析：通过观察的协议控制信息部分，了解正在通信的协议实体的地址和 身份，研究的长度和传输的频度，以便了解所交换的数据的某种性质。这种被动攻击又 称为流量分析（）。 （5）恶意程序：恶意程序（）通常是指带有攻击意图所编写的
第七章图与网络分析 一、单项选择题 1．关于可行流，以下叙述不正确的是（） A.可行流的流量大于零而小于容量限制条件 B．在网络的任一中间点，可行流满足流人量=流出量 C．各条有向边上的流量均为零的流是一个可行流 D．可行流的流量小于或等于容量限制条件而大于或等于零 2．关于最小树，以下叙述（）正确。 A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图 B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图 C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内 D．一个网络的最小树一般是唯一的。 3．最小树的算法关键是把最近的某些结点连接到那些已接结点上去，前者所指结点是（） A. 边缘结点 B.未接结点 C.已接结点 D.最重要结点 4.最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且（） A.连接的总长度最大 B.连接的总长度最小 C.连接的总长度为0 D.计算总长度5．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接（） A.相邻结点 B.头尾结点 C.部分结点 D.所有结点 6．任一树中的边数和它的点数之间的关系是（） A.边数等于点数减1 B.边数等于点数加1 C.点数等于边数减1 D.点数等于边数加1 7．最大流问题中，对于一个可行流，V i V j有向边上的流量f ij必须满足的条件之一是（） A.0≤f ij≥c ij B.0≥f ij≤c ij C. 0≤f ij≤c ij D. 0≥f ij≥c ij 8.一个连通图中的最小树可能不唯一，其权（） A.是唯一确定的 B.可能不唯一 C.可能不存在 D.一定有多个 二、多项选择题 1.关于图论中图的概念，以下叙述正确的的（） A.图中的边可以是有向边，也可以是无向边 B.图中的各条边上可以标注权 C.结点数等于边数的连通图必含圈 D.结点数等于边数的图必连通 E.图中的边只能是有向边 2.关于最短路，以下叙述不正确的有（） A. 从起点出发到终点的最短路不一定是唯一的，但其最短路线的长度是确定的 B．从起点出发到终点的最短路是唯一的 C．从起点出发的有向边中的最小权边，一定包含在起点到终点的最短路上 D．从起点出发的有向边中的最大权边，一定不包含在起点到终点的最短路上 E．整个网络的最大权边的一定不包含在从起点到终点的最短路线上 3.关于增广链，以下叙述正确的有（） A．增广链是一条从发点到收点的有向路，这条路上各条边的方向必一致 B．增广链是一条从发点到收点的有向路，这条路上各条边的方向可不一致 C．增广链上与发收点方向一致的边必是非饱和边，方向相反的边必是流量大于零的边 D．增广链上与发收点方向一致的边必是流量小于容量的边，方向相反的边必是流量等于零的边 E．增广链上与发收点方向一致的边必是流量为零的边，方向相反边必是流量大于零的边4.在下图中，根据（a）生成的支撑树有（）
第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两
第11章图与网络模型 习题1 配送的最短距离。用解：这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v 7 Dijkstra算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为： 从节点1到节点7的最短路 ************************* 起点终点距离 ------------ 124 2312 356 575 此问题的解为:27 → 12357 习题2 解：这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。 最优更新策略为：第一年末不更新 第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器 我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。 习题3 解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树。解此题可以得出结果为18。也可以使用管理运筹学软件，得出如下结果： 此问题的最小生成树如下： ************************* 起点终点距离 ------------ 132 342 124 252 573
习题4 782 763此问题的解为:18 解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到 v6 的最 大流量。解此题可以得出最大流量为 出结果为： 22。使用管理运筹学软件，我们也可以得v1从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点距离 ------------ 126 146 1310 240 256 345 365 455 466 5611 此问题的解为:22 即从v1到v6的最大流量为：22 习题5 解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为5，最小费用为39。使用管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下： 从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点流量费用 ---------------- 1213 1341 2424 3211 3533 4624
数学建模图与网络模型 及方法 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任
计算机网络课后题答案第七章 第七章网络安全 7-01 计算机网络都面临哪几种威胁？主动攻击和被动攻击的区别是什么？对于计算机网 络的安全措施都有哪些？ 答：计算机网络面临以下的四种威胁：截获( interception )，中断 (interruption) ，篡改 (modification), 伪造( fabrication )。 网络安全的威胁可以分为两大类：即被动攻击和主 动攻击。 主动攻击是指攻击者对某个连接中通过的 PDU 进行各种处理。如有选择地更改、 删除、延迟这些PDU 。甚至还可将合成的或伪造的 PDU 送入到一个连接中去。主动攻击 又可进一步划分为三种，即更改报文流；拒绝报文服务；伪造连接初始化。 被动攻击是指观察和分析某一个协议数据单元 PDU 而不干扰信息流。即使这些数据对攻 击者来说是不易理解的，它也可通过观察 PDU 的协议控制信息部分，了解正在通信的协 议实体的地址和身份，研究 PDU 的长度和传输的频度，以便了解所交换的数据的性质。 这种被动攻击又称为通信量分析。 还有一种特殊的主动攻击就是恶意程序的攻击。恶意程序种类繁多，对网络安全威胁较大 的主要有以下几种：计算机病毒；计算机蠕虫；特洛伊木马； 对付被动攻击可采用各种数据加密动技术，而对付主动攻击， 技术结合。 7-02 试解释以下名词：( 1)重放攻击；( 2)拒绝服务； 析；( 5) 恶意程序。 ( 1)重放攻击：所谓重放攻击( replay attack )就是攻击者发送一个目的主机已接收过 的包，来达到欺骗系统的目的，主要用于身份认证过程。 (2)拒绝服务：DoS(De nial of Service)指攻击者向因特网上的服务器不停地发送大量分 组，使因特网或服务器无法提供正常服务。 (3)访问控制：(access control )也叫做存取控制或接入控制。必须对接入网络的权限 加以控制，并规定每个用户的接入权限。 ( 4)流量分析：通过观察 PDU 的协议控制信息部分，了解正在通信的协议实体的地址和 身份，研究 PDU 的长度和传输的频度，以便了解所交换的数据的某种性质。这种被动攻 击又称为流量分析( traffic analysis )。 5)恶意程序：恶意程序( rogue program )通常是指带有攻击意图所编写的一段程序。 7-03 为什么说，计算机网络的安全不仅仅局限于保密性？试举例说明，仅具有保密性的 计算机网络不一定是安全的。 逻辑炸弹。 则需加密技术与适当的鉴别 3)访问控制；( 4)流量分
第5章习题参考答案 1．请在括号填入适当答案。在CPU中： (1)保存当前正在执行的指令的寄存器是（ IR ）； (2)保存当前正在执行的指令地址的寄存器是（ AR ） (3)算术逻辑运算结果通常放在（ DR ）和（通用寄存器）。 2．参见图5.15的数据通路。画出存数指令“STO Rl，(R2)”的指令周期流程图，其含义是将寄存器Rl的容传送至(R2)为地址的主存单元中。标出各微操作信号序列。 解： STO R1, (R2)的指令流程图及微操作信号序列如下：
STO R1, (R2) R/W=R DR O, G, IR i R2O, G, AR i R1O, G, DR i R/W=W 3．参见图5.15的数据通路，画出取数指令“LAD (R3)，R0”的指令周期流程图，其含义是将(R3)为地址主存单元的容取至寄存器R2中，标出各微操作控制信号序列。 解： LAD R3, (R0)的指令流程图及为操作信号序列如下：
PC O , G, AR i R/W=R DR O , G, IR i R 3O , G, AR i DR O , G, R 0i R/W=R LAD (R3), R0 4．假设主脉冲源频率为10MHz ，要求产生5个等间隔的节拍脉冲，试画出时序产生器的逻辑图。 解：
5．如果在一个CPU 周期中要产生3个节拍脉冲；T l ＝200ns ，T 2=400ns ，T 3=200ns ，试画出时序产生器逻辑图。 解：取节拍脉冲T l 、T 2、T 3的宽度为时钟周期或者是时钟周期的倍数即可。所以取时钟源提供的时钟周期为200ns ，即，其频率为5MHz.；由于要输出3个节拍脉冲信号，而T 3的宽度为2个时钟周期，也就是一个节拍电位的时间是4个时钟周期，所以除了C 4外，还需要3个触发器——C l 、C 2、C 3；并令 211C C T *=；321C C T *=；313C C T =，由此可画出逻辑电路图如下：
