因此n []122()n E K K K K =-++++ ，故有：2n K =。 2.50 证明有七条棱的多面体不存在。 证明：首先可证，每一面只能是三角形。若有一面是四边形或更多的多边形，则剩下至多三条棱，这剩下的至多三条棱无法与四顶点或更多的顶点相连而得到一多面体。 因此可得，假若存在有七条棱的多面体V ，设V 的面数为F ，棱数为E ，则23E F =。 ∵7E =，∴14 3 F =（非整数），与假设没有矛盾（由假设知F 必为正整数）。 故不存在有七条棱的多面体。 2.51 证明正四面体一双对棱中点的连线垂直于这两棱。 题设：在正四面体ABCD 中，E F 、是AB CD 、中 点。 题断：EF AB ⊥，EF CD ⊥。 证明：连AF BF DE CE 、、、。 ABCD 是正四面体， ∴FA FB =。 又EA EB = ，∴FE AB ⊥。 同理得：EF CD ⊥。 2.52 正四面体以一 顶点所引高的中点到其他三顶点连线，证明它们是一个三直 三面角的三棱。 题设：在正四面体ABCD 中，'AA ⊥平面BCD 于且'A ，O 为'AA 的中点。 题断：O BCD -是三直三面角。 证明：设正四面体ABCD 的棱长为a 。我们不难知道：'A 为正△BCD 的中心，因此 'BA ''CA DA == = 。 'AA ∴=。 ''2AA OA = =， 题图 2-51 题图 2-52
OB ∴。 同样得OC= ，OD=。 222222 )) OB OC a BC ∴+=+==。 因而知：BOC ∠=90?。 同理可证：COD ∠=90?，DOB ∠=90?。 故O BCD -是三直三面角。 2.53 证明正四面体一双对棱互相垂直。 题设：AB CD 、是正四面体ABCD的一双对棱。 题断：AB CD ⊥。 证明：取AB的中点E，连CE DE 、。 ∵CE AB ⊥，DE AB ⊥， ∴AB⊥平面DCE CD ?。 故AB⊥CD。 2.54 求作一平面使截正四面体的截面成矩形。 题设：正四面体ABCD。 求作：一平面π截此四面体，使截面PQRS 为矩 形。 分析：由已解决的2.28题知，首先π必平行于一双对 棱（这是由于矩形?平行四边形）。在这里，不妨假设 π已作成，π是平行于一双对棱AC、BD的。 P Q R S 、、、在AB、BC、CD、DA上，我们不 难知道PQ∥AC，QR∥BD。 由上题得：AC BD ⊥。 ∴PQ⊥QR，因而PQRS为矩形。 由此可见：平行于一双对棱的任一平面合条件。因而本题有无限多解。 作图：从略。 2.55 求作一平面使截正四面体的截面成正方 形。 题设：正四面体ABCD。 题作：平面α截此体，使得截面PQRS为正方 形。 题图 2-53 题图2-54
5.6.5几何证明举例 ---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标 1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力； 2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。 教学重点 应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。 教学难点 证明“HL”定理的思路的探究和分析。 教学过程 （一）初步探究：HL的证明 有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？ （二）HL应用：用三角尺可以作角平线 如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？ （三）再次探究：三角形全等条件的探索 如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。 （五）课堂练习 1、判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 （2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。 （3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。 2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________. （六）当堂检测 1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）. （1）（2）（3） 2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________. 3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______） 反思
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
§5.6 几何证明举例（2） 教学目标： 1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。 3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。 4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。 教学重、难点： 重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。 教学准备： 电子白板、直尺、圆规、直角三角板 教学过程 一、情境导入、复习回顾 1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？ 二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步) （1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。 证明：等腰三角形的两个底角相等。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 法1 证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) ∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD(SAS) ∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等) 法2 证明：作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) BD = CD （已证） AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD( SSS )
∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等) （2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？ 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：作AD⊥BC,垂足为D 则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)， 在△ABD和△ACD中， ∵∠B=∠C (已知)， ∠ADB=∠ADC=90°(已证) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) (3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明： (鼓励学生当老师讲给其他同学听) ①等边三角形的每个内角都是60° ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 三、精讲点拨： 1、等腰三角形的性质： 性质1： 性质2： 2、数学语言表达： 性质1：性质2： 在△ABC ∵ AB=AC ∵ AB=AC ∴∠B= ∠C ① AD平分∠BAC （等边对等角） ②AD⊥BC ③ BD=DC ( ①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项 ) （三线合一） 四、典例精析 例1 已知，D是△ABC内的一点，且DE=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB 求证：AB=AC
第一讲 几何证明的常见类型与解法 【知识精读】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果）：从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）：从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等（数量关系） 例1、已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF
例2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F 2、证明直线平行或垂直（位置关系） 例3、如图，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD=AB ．求证：FD ∥BC ． 例4、如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连接BG ，DE ．观察图形，猜想BG 与DE 的关系，并证明你的结论； 3、证明线段和、差、倍、分的问题 例5、已知：如图6所示在?ABC 中，∠=?B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、 CE 相交于 O 。求证：AC ＝AE ＋CD
几何证明举例——等腰三角形教学设计 教学目标 1、初步掌握等腰三角形的性质及简单应用。 2、理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系。 3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。 教学重点和难点 重点是等腰三角形性质的应用； 难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用。 教学过程设计 一、探索并证明等腰三角形的三条性质复习引入新课： 动手操作 你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）。展示等腰三角形折叠动画。 二、新课探索新课探索一：等腰三角形的性质定理和判定定理 1、回答下面的问题，并与同学交流： (1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明? (2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题； (3)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性? 2、知识点1：等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 温馨提示一： 回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程。由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同。 例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 3、方法点拨 （3）证明一：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
第56讲 解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边A B 及直角边B C 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥FA ． 分析 只要证k C D ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标． 证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，D (x ，y )． 则直线AB 的方程为ax ＋by －ab ＝0． 故直线BD 的方程为bx －ay －(b ·b －a ·0)＝0， 即bx －ay －b 2＝0． ED 方程设为ax ＋by ＋C ＝0． 由AB 、ED 距离等于|AB |，得 |C ＋ab | a 2＋b 2＝a 2＋b 2， 解得C ＝±(a 2＋b 2)－ab ． 如图，应舍去负号． 所以直线ED 方程为ax ＋by ＋a 2＋b 2－ab ＝0． 解得x ＝b －a ，y ＝－b ．(只要作DH ⊥x 轴，由△DBH ≌△BAC 就可得到这个结果)． 即D (b －a ，－b )． 因为k AF ＝b －a b ，k CD ＝－b b －a ，而k AF ·k CD ＝－1．所以DC ⊥FA ． 例2．自ΔABC 的顶点A 引BC 的垂线，垂足为D ，在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于E ，CH 交AB 于F ． 试证：AD 平分ED 与DF 所成的角． 证明 建立直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，H (0，h )，于是 BH ：x b ＋y h ＝1 AC ：x c ＋y a ＝1 过BH 、AC 的交点E 的直线系为： λ(x b ＋y h －1)＋μ(x c ＋y a －1)＝0． 以(0，0)代入，得λ＋μ＝0． y x H F E D C B A y x O A B C D E F G
第56讲解析法证 几何题
第56讲解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
斜边AB及直角边BC为边向三角形两 侧作正方形ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标． 证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标 系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x
几何证明练习题 1、如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由． 2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC. （1）求证：BE=CF； （2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN. 3、如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD 垂直AB交BE的延长线于点D 如图,在△ABC中,∠ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE 的延长线于点D,CG平分角ACB交BD于点G,F为AB边上的一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG,求证：（1）AF=CG （2）CF=2DE
4、在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A 重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程） （1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点． 求证：△EBC≌△FDA．
考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 考点：线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = 求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
证明几何不等式证法举例 四川省广元市宝轮中学 唐明友 几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。 一.中线加倍法 例1.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：A D<2 AC AB + 证明：延长AD 至E ，使DE=DA ，连接CE ∵DA=DE,DC=DB,∠1=∠2，∴△AB D ≌△EC D ，∴AB=EC 在△ACE 中AE 几何证明举例——有关全等三角形的证明 第一课时 教学目标： 1、会证明“AAS”定理，并会应用三角形全等的判定方法证明 三角形全等。 2、根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段和角相等。 3、知道证明的过程有不同的表达形式，学会综合法证明的书写 格式。 4、在证明过程中体会数学的转化思想。 学习过程 一、复习引入 1、同学们还记得有关全等三角形的几个基本事实吗? 2、全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？ 3、几何证明的步骤是什么？ 二、探究证明 1、求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。 2、 例 已知：如图，AB =AC ，DB =DC . 求证：∠B =∠C . 3、变式1、 已知：如上图，AB =AC ，∠B =∠C . 求证： DB =DC . 练习、已知：如图，PB =PC ，CE 、BD 相交于点P ，∠BDA =∠CEA. 求证：AB =AC. A C B D 5、合作与探究 两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？ 三、课堂小结 1、判定三角形全等的方法有:————————————————————————————。 2、证明全等的思路： 3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等. 4、证明两条线段（或角）相等的方法： C A B D P E 四、当堂达标 1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去 c . 带③去 D．带①和②去 4：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 几何证明题的知识点总结 知识点： 一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理： 定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离 相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上。 M P AB N 二、角平分线的性质定理及其逆定理： 定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等 的点，定在这个角的平分线上。 三、相交线、平行线 1、对顶角相等 2、平行线的判定 （1)同位角相等，两直线平行 （2)内错角相等，两直线平行 （3)同旁内角互补，两直线平行 3、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 四、三角形 1、等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT的性质定理： （1）RT的两个锐角互余。 （2）在RT中，斜边上的中线等于斜边的一半。 推论： （1）在RT中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等 于斜边的一半。 （2）在RT中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的角等于30度。 2、勾股定理 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即： c b a 222=+ 3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等 于第三遍的一半。 4、全等三角形的判定定理 （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直 角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应角相等 （2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相 等 五、平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等 （推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处 处相等） （2）平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的两条对角线互相平分 （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 1、几何证明题的一般步骤：一“标”二“想”三“整理” （1）标出已知条件，如线段相等可以用单杆双杆等表示，角相等可以用单弧线双弧线等表示； （2）一要想出题目或图中的隐含的相等条件：如①对顶角相等、②（部分）公共边、③（部分）公共角、④等（同）角的余（补）角相等，⑤BD=CE BD+DC=EC+CD即BC=ED等；二要想出已知条件、隐含条件与所求证之间的关系，进而得到解题的思路； （3）整理时，须按照三角形全等的对应关系和判定条件一一整理，如果（三个或两个）条件不够，那么需要提前做好铺垫，再通过对应关系进行整理，保证思路清晰，书写条理； 思路：证明两条边相等、两个角相等或两边平行的一个重要方法是利用这两条边或这两个 角所在的两个三角形全等； 2、证明文字叙述的真命题的一般步骤： （1）分清条件和结论；（2）画出图形；（3）根据条件写出已知，根据结论写出求证；（4）证明 3、选择证明三角形全等的方法与技巧（“题目中找，图形中看”） （1）已知两边对应相等 ①证第三边相等，再用S.S.S.证全等 ②证已知边的夹角相等，再用S.A.S.证全等 ③找直角，再用H.L.证全等 （2）已知一角及其邻边相等 ①证已知角的另一邻边相等，再用S.A.S.证全等 ②证已知边的另一邻角相等，再用A.S.A.证全等 ③证已知边的对角相等，再用A.A.S.证全等 （3）已知一角及其对边相等证另一角相等，再用A.A.S.证全等 （4）已知两角对应相等 ①证其夹边相等，再用A.S.A.证全等 ②证一已知角的对边相等，再用A.A.S.证全等 4、全等三角形中的基本图形的构造与运用 （1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 （2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段） C A B C D E P 图 ⑴ 5.6 几何证明举例 1、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：△RDQ 是等腰直角三角形. C B 2、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC. 3、已知：在△ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA. 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ． 5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点. (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论. 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE的周长. A B C O M N 几何证明习题答案 1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且 AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度, 又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP, △BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR 由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ, ∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度, 所以△RDQ是等腰RT△. 2. 作AG平分∠BAC交BD于G ∵∠BAC=90°∴∠CAG= ∠BAG=45° ∵∠BAC=90°AC=AB ∴∠C=∠ABC=45° ∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90°∴∠CAF=∠ABE ∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG ∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45°CD=AD ∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90° 4. 略 5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心， 所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形. 证明：连接OA，如图， ∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°， ∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B， 在△NAO和△MBO 中， 高中数学几何证明题 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】 新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理， 1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =? ?⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， A E D 1 C B 1 A H G F E D C B A E B C 几何证明题的技巧 1）证明线段相等，角相等的题，通常找到线段所在图形，证明全等 2）隐藏条件：比如特殊图形的性质自己要清楚，有些时候几何题做不出来就是因为没有利用好隐藏条件 3）辅助线起到关键作用 4）几何证明步骤：依据—结论—定理切记勿忽略细微条件 5）遇到面积问题，辅助线通常做高，遇到圆，多为做半径，切线 6）个别题型做辅助线： 1 通过连结，延长，作垂直，作平行线等添加辅助线的方法，构造全等三角形。 2遇到有中点条件时，常常延长中线（即倍长中线），或以中点为旋转中心，使分散的条件汇集起来。 3遇到求边之间的和，差，倍数关系时，通常采用截长补短的方法，求角度之间的关系时，也一样。 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 模块一 K 字型全等 如图，BD AD ⊥，AB AC ⊥，AE CE ⊥，且AB AC =，则有ABD CAE △△≌． 模块二 母子型 1．等边三角形 2．正方形（等腰直角三角形） （15—16年成华期末）在ABC △中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线l 经过点C ，且AD l ⊥ 于点D ，BE l ⊥于点E ． （1）当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时，求证：①ACD CBE △≌△，②AD BE DE +=； （2）当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时，求证：BE DE AD +=； （3）当直线l 绕点C 旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系． 图1-1 图1-2 图1-3 模块一 K 字型全等 C B D A E C B D A E C B A E D B C A E D C B D A C G F D B A E G D B C A E F D B C G F E A l A D B E C A B l C D E A B l D C E （15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，连接AH ． （1）过点F 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：AF FH =； （2）过点H 作HG BD ⊥，垂足为G ，试求FG 和BD 的数量关系． （嘉祥）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，求证：AM 是AEG △的中线． 如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图4-1，若90BCA ∠=?，90α∠=?，则BE _____CF ；EF _____||BE AF -（填“＞”、“＜”、“=”）； ②如图4-2，若0180BCA ?< 标准文档 实用文案 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二） 证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE ∵EG⊥CO，EF⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E、G、O、F四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO∽△FHG ∴FGEO=HGGO ∵GH⊥AB，CD⊥AB ∴GH∥CD ∴CDCOHGGO? ∴CDCOFGEO? ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形 标准文档 实用文案 3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN∥AD，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM∥BC，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G ∵OG⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF又AD⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD⊥BC，OM ⊥BC，OG⊥AD ∴四边形OMDG是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO 标准文档几何证明举例学案
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