函数图像的创意设计 韦辉樑 黎德聖 江春莲 【前言】本文是笔者在浸信中学数学组的讲座稿。随後，该校的黎德聖老师带领高一和高二 年级的学生开展了一次“数学创意设计”的活动。学生的创意作品精彩纷呈，令老师们大为惊讶。师生收获颇丰，同步成长。特此投稿，与老师们分享。 一. “轨跡”的概念和实现 1. 教材对函数 y = f(x)的图像的定义，是基于两个集合相等的概念定义的，也就是“满足方程的点的集合”和图像上的点的集合之间的一一对应。 2. 何谓“轨跡”？教材中有使用“轨跡”一词，例如，“椭圆是到两点距离之和为常量的点的轨跡”。但何谓“轨跡”，没有明确的说明。其实，“动点留痕”便是轨跡。这里有两个要素，就是“动点”和“留痕”。点要能动，在动的过程中要能留痕。 3. 运动由时间和位置两个元素来描述。时间有前后，运动就是伴随时间先后的位置顺序。所以时间和轨迹都是连续有序的，而“点的集合”只有位置而没有先后，可以是间断的、无序的，这是轨跡与函数概念的集合定义最大的不同。 4. 用粉笔在黑板上写字画图，就可以动点留痕，只是徒手较难画出一条准确的函数曲线，现在可以借助函数作图工具。在"DM_Lab42 的1712版本”中，动点的座标可用参数表示，实现“动点留痕”。 例如：在函数输入栏，键入 A.x => 5*cos(t) A.y => 3*sin(t) t ∈(0, 2π) , 用点击A ，令其留痕。即可得到一动点A 沿指定的座标运动并留痕，结果得到右图所示的椭圆轨跡。 M. y=> r*sin(c) c ∈(0, 2π) 哈哈！得两个圆。 哎哟！不是圆，但很像四叶梅花。 图1 图2 图3
数学的有趣图形-心形线 一、第一种表述 极坐标方程 水平方向：ρ=a(1-cosθ) 或ρ=a(1+cosθ) (a>0) 垂直方向：ρ=a(1-sinθ) 或ρ=a(1+sinθ) (a>0) 直角坐标方程 心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 和 参数方程 所围面积为，形成的弧长为8a。心脏线是外摆线的一种，其n为 2。 python画图 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
import math i = np.linspace(-math.pi,math.pi) x=2*(np.sin(i)-np.sin(2*i)/2) y=2*(np.cos(i)-np.power(np.cos(i),2)) plt.plot(x,y) plt.show() 二、第二种表述 函数方程 python画图 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import math
x = np.linspace(-2,2,500) y=lambda x:np.power((x**2),(1/3))+0.99*np.sqrt(3.3-np.power(x,2))*np.sin(9.9*math.pi*x) plt.plot(x,y(x)) plt.axis([-3,3,-2,3]) plt.show() 三、第三种表述 平面直角坐标系方程 参数方程
python画图 from matplotlib import pyplot as plt import numpy as np import math i = np.linspace(0,2*math.pi,500) x=np.cos(i) y=np.sin(i)+np.power(np.power(np.cos(i),2),1/3) plt.xlim([-1,1]) plt.plot(x,y)
数学函数中的浪漫 组长：阮鹏鹏 组员：戴明邓子奔
心脏线的发现 笛卡儿，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大， 他是第一个发现直角坐标的人，可惜一生穷困潦倒。 一直到在５２岁，一直默默无名。 当时法国正流行黑死病，迪卡儿不得不逃离法国， 于是他流浪到瑞典当乞丐。 某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过， 其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人， 她对迪卡儿非常好奇，于是上前问他....... 你从哪来的啊?法国。 你是做什么的啊? 我是数学家。 这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主， 她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。 当她听到迪卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把迪卡儿邀请回宫。迪卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。 而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有迪卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。 这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！ 下令将迪卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼， 国王害怕宝贝女儿真的会想不开， 于是.......将迪卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。 迪卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。 迪卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。 所以克丽丝汀一直没收到迪卡儿的信....... 在迪卡儿快要死去的时候，他寄出了第１３封信， 当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。 这封信的内容只有短短的一行...... r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。 国王当然看不懂这项数学式，于是找来城里所有科学家来研究， 但都没有人能够解开到底是什么意思。 国王心想.......反正迪卡儿就快要快死了， 而且公主被软禁时都闷闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。 当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比， 她很高与她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。 没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a……A点 当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0……B点
3.几何画板输入函数得到
哇哈哈哈哈。。。。。。。！！！ 小朋友们，快进来膜拜吧！！！
瞄准了等速螺线。 设图上一点(x,y)，由几何意义可以得到 x2+y2=arc tan2(y/x) 考虑到tan x与x3的相似性，可以有 (x2+y2)3=(y/x)2 考虑到图象的不对称性，我们将y2换成y3； 考虑到tan x与x3的偏差随x 增大而增大，在角端乘以x?； 然后画图发现有点太过饱满，于是在半径端减1…… 然后我很没脸地告诉大家，我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦…… 也许下面这个才是真相： 原作先选取了一个简洁的斜椭圆：x2+y2-xy=1 接下来的一步我不说你们也能猜到…… 转化为x2+y2-1=|x|y 消去绝对值符：x2+y2-1=x2y2 此时我们损失了“x2+y2-1与y的符号相同”这一约束，考虑是否可以同乘该因子。 由于要消去“|x|”，我们考查这一转化对图形的影响： 设前后图形某点服从{x'=ax,y'=by}的变化，那么 (a2x2+b2y2-1)^(2k+m)=(by)^m*(abxy)^2k 令a、b→1，有 (x2+y2-1)^m=y^m 故有 |x|^m=((x2+y2-1)/y)^m=1 观察x2+y2-xy=1的图形与x2+y2-y=1的图形，注意到两者仅在x∈[-1/2,1/2]有显著差异故m→0于是我们将m 确定为1，令k→+∞ 通过尝试，我们发现仅需取k=1 即可获得很好的效果和优美的方程。 至此，我们确定一个心形曲线的方程为 (x2+y2-1)3=x2y3 再次膜拜一下第一个做出这个无敌结果的大神：Siehe Beutel
微博上最近流传这这样一个段子： 老师说,把这个函数()3 222310x y x y +--=图像画给喜欢的人看。（附图） 作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数，好不好；这是一个方程,好不好”。当然方程也有图像,但是这个方程图像是不是如上图就不得而知了。 作为一个专业人士（嘿嘿，见笑见笑!），我还是有必要对其验证一下的 准备工作：1。笔，纸,几何画板，QQ 截图 2.整理方程（因为几何画板只能画函数图像，所以先得把方程整理成函数形式） 整理得2 423344 2x x x y ±-+= 3.几何画板输入函数得到
4.显然通过原方程得到的图像是一个“LOVE ”形状,但是一向追求完美的我们怎么能容忍一个这么小,而且还是蓝色的心形呢。 绝对不能,我们得改造,改造，改造。。。..。！ 第一：要变红色，这个还是好办滴,换颜色 第二:要变大（说把坐标轴放大的请出去），我们在不考虑函数复杂性，只考虑图像美观的前提下对原方程做了一点修改,以使图像更大。大叫三声：“方程变，变，变！” 3 2223103333x y x y ??????????+--= ? ? ? ? ? ??????????? 从而得到两个新的函数24233443332 3x x x y ??????±-+ ? ? ???????= 几何画板得图像 哇哈哈哈哈.。。。。。。！！！ 小朋友们，快进来膜拜吧！！！ 另附网络大神猜想 这个方程大家很熟悉吧： （x 2+y 2-1)3=x 2y 3 （Siehe Beutel) Beutel 到底是谁我不知道，不过根据他的方程，我来瞎猜一下大神的设计路线……
符号函数及其微积分 一、符号函数计算 MA TLAB 中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。 实例1、求()()12sin ,3 -==x u u u f 的复合函数 >> syms x y z u t %定义符号变量 >> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compose(f,g) %求f,g 的复合函数 ans = sin(2*x-1)^3 >> compose(f,g,t) %求f,g 的复合函数，再将自变量x 换为t ans = sin(2*t-1)^3 实例2、求 x 2x 1 ,22+--e x 的反函数。 >> finverse(exp(2*x)-2) %求22-e x 的反函数 ans = 1/2*log(2+x) >> finverse((1-x)/(2+x)) %求x 2x 1+-的反函数 ans = -(2*x-1)/(1+x) 二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MA TLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口，而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作，也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。 （1） 图形窗口操作命令 对图形窗口的控制和操作的命令很多，这里主要介绍常用的figure 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplot 等常用命令。它们的调用格式及有关说明了见表2—2。
微博上最近流传这这样一个段子： 老师说，把这个函数()3222310x y x y +--=图像画给喜欢的人看。（附图） 作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数，好不好；这是一个方程，好不好”。当然方程也有图像，但是这个方程图像是不是如上图就不得而知了。 作为一个专业人士（嘿嘿，见笑见笑！），我还是有必要对其验证一下的 准备工作：1.笔，纸，几何画板，QQ 截图 2.整理方程（因为几何画板只能画函数图像，所以先得把方程整理成函数形式） 整理得24233442x x x y ±-+= 3.几何画板输入函数得到
哇哈哈哈哈。。。。。。。！！！ 小朋友们，快进来膜拜吧！！！
首先屁股线、椭圆对称什么的弱爆了，一个难看，另一个绝对值符号又不好消，于是乎我们瞄准了等速螺线。 设图上一点(x,y)，由几何意义可以得到 x2+y2=arc tan2(y/x) 考虑到tan x与x3的相似性，可以有 (x2+y2)3=(y/x)2 考虑到图象的不对称性，我们将y2换成y3； 考虑到tan x与x3的偏差随x 增大而增大，在角端乘以x?； 然后画图发现有点太过饱满，于是在半径端减1…… 然后我很没脸地告诉大家，我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦…… 也许下面这个才是真相： 原作先选取了一个简洁的斜椭圆：x2+y2-xy=1 接下来的一步我不说你们也能猜到…… 转化为x2+y2-1=|x|y 消去绝对值符：x2+y2-1=x2y2 此时我们损失了“x2+y2-1与y的符号相同”这一约束，考虑是否可以同乘该因子。 由于要消去“|x|”，我们考查这一转化对图形的影响： 设前后图形某点服从{x'=ax,y'=by}的变化，那么 (a2x2+b2y2-1)^(2k+m)=(by)^m*(abxy)^2k 令a、b→1，有 (x2+y2-1)^m=y^m 故有 |x|^m=((x2+y2-1)/y)^m=1 观察x2+y2-xy=1的图形与x2+y2-y=1的图形，注意到两者仅在x∈[-1/2,1/2]有显著差异故m→0于是我们将m 确定为1，令k→+∞ 通过尝试，我们发现仅需取k=1 即可获得很好的效果和优美的方程。 至此，我们确定一个心形曲线的方程为 (x2+y2-1)3=x2y3 再次膜拜一下第一个做出这个无敌结果的大神：Siehe Beutel
浪漫的函数图像 （x^2 + (9/4)y^2 + z^2 - 1)^3 - x^2z^3 - (9/80)y^2z^3 = 0一生只为等待能手绘这个函数给我的人。。。 有人留言说这第一个3D图的参数有误，那么我在编辑一下：
那天看到笛卡尔的情书，于是想看看有没有加强版的爱心图，就发现了某位大侠用mathma tica画出来的这张图。 好像很多人蛮喜欢的，那把最原始的故事发上来： 笛卡儿，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大， 他是第一个发现直角坐标的人，可惜一生穷困潦倒。 一直到在５２岁，一直默默无名。 当时法国正流行黑死病，迪卡儿不得不逃离法国， 于是他流浪到瑞典当乞丐。 某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过， 其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人， 她对迪卡儿非常好奇，于是上前问他....... 你从哪来的啊? 法国。 你是做什么的啊? 我是数学家。 这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主，
她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。 当她听到迪卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把迪卡儿邀请回宫。 迪卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。 而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有迪卡儿这对师生才懂。 后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。 这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！ 下令将迪卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼， 国王害怕宝贝女儿真的会想不开， 于是.......将迪卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。 迪卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。 迪卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。 所以克丽丝汀一直没收到迪卡儿的信....... 在迪卡儿快要死去的时候，他寄出了第１３封信， 当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。 这封信的内容只有短短的一行...... r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。 国王当然看不懂这项数学式，于是找来城里所有科学家来研究， 但都没有人能够解开到底是什么意思。 国王心想.......反正迪卡儿就快要快死了， 而且公主被软禁时都闷闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。 当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比， 她很高与她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。 没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a……A点 当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0……B点 当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a……C点 当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a……D点 a为四截距的比值 而B点是原点(0,0) ，这要靠点想象，把A,B,C,D四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线。 这就是迪卡儿和克丽丝汀之间秘密数学式不久之后那位国王也死了，克丽丝汀继承王位，登基之后马上派人在欧洲四处寻找迪卡儿的踪迹，可惜........人已故。 传说，这第１３封的另类情书还保留在欧洲的迪卡儿纪念馆里。 不过极坐标系的更完美 这是原版的情书：
一、极限论 例 证明 1 lim 0a n n →∞ =，其中a>0为常数. 例 设{n S }为例所得的数列，即证明22 2321 lim 36n n n n →∞-+=. 例 证明lim 0(1)n n q q →∞ =<. 例 求224n 1 lim 256 n n n →∞++-.
例 求lim ,其中a -11 n n n a a →∞≠+. 例 求lim n →∞- . 例 n n 设a 0（n=1，2）,lim a =a.证明lim 为常数).n n a →∞ →∞ ≥ 例 证明lim 1(0)n a →∞=>.
例 求lim n →∞. 例 设 123222n a a a a ====++ 求lim n n a →∞ . 例 证明极限1 lim (1)n n n →∞ +存在.
例 若2 sin 1sin 2 sin 222 n n n a =+++ ，则数列{n a }收敛. 例 证明x 1 lim =0x →∞. 例 证明 （1）x lim arctan 2 x π →+∞ =（2）x lim arctan 2 x π →-∞ =-
例 证明2x 11 lim 21 x x →-=-. 例 证明2x 2lim 12 x x →=+. 例 证明0 0x lim 0).x x →= > 例 证明 （1）0 0x lim sin sin x x x →= （2）0 0x lim cos cos x x x →=.
例 求极限01 lim x x →-. 例 求极限01lim .x x x →?? ???? 例 求证0 lim 1(0).x x a a →=>
心形线的由来 1650年， 52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。 那时过着乞讨生活，生性清高的笛卡尔一直潜心于他的数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，研究数学问题。他认真痴迷的样子，引起了公主克里斯汀公主的注意。 “你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。 几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。 公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。 在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。 在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。 然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。 在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。 最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。 国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。 国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾…… 这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。 r=a(1-sinθ)。
