第四章习题 4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 （1）t j e 100 （2）)]3(2 cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ （5）)4sin()2cos(t t ππ+ （6）)5 cos()3cos()2cos(t t t π ππ++ 4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。 图4-15 4.10 利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。 图4-18 4-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示，
（1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。 （2）利用（1）的结果和1)21 (=u ，求下列无穷级数之和 （3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。 （4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和 图4-19 4.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换 （1）∞<<-∞--=t t t t f ,)2()] 2(2sin[)(ππ （2）∞<<-∞+=t t t f ,2)(22αα （3）∞<<-∞??? ???=t t t t f ,2)2sin()(2 ππ
4.18 求下列信号的傅里叶变换 （1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e t f t δ （3）)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε （5）)12()(-=t t f ε 4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。 图4-23 4.20 若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱： （1）)2(t tf （3）dt t df t ) ( （5）)-1(t)-(1t f （8）)2-3(t f e jt （9）t dt t df π1 *) ( 4.21 求下列函数的傅里叶变换
第三章 系统频率特性 系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。 本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。 3.1 频率响应和频率特性 3.1.1 一般概念 频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号 t X t x i i ωsin )(= (3.1-1) 根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差?，且也是输入信号频率ω的函数。即线性系统的稳态输出为 )](sin[)()(00ω?ωω+=t X t x (3.1-2)
由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ω?。 幅频特性： )()()(0ωωωi X X A = (3.1-3) 相频特性： )()()(0ω?ω?ω?i -= (3.1-4) 频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为： )()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5) 频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。 )(ωj G 有三种表示方法： )()()(ω?ωωj e A j G = (3.1-6) )()()(ωωωjV U j G += (3.1-7) )(sin )()cos()()(ω?ωωωωjA A j G += (3.1-8) 式中，实频特性： )(cos )()(ω?ωωA U = 虚频特性：
4.1 已知某放大器的幅频特性如题图4.1所示。 (1) 试说明该放大器的中频增益、上限频率f H 和下限频率f L 、通频带BW 。 (2) 当()()() ()mV t sin mV t sin u i 4 61022010410?+?=ππ和 ()()() ()mV t sin mV t sin u i 4102205210?+?=ππ时，输出信号有无失真？是何种性质 的失真？分别说明之。 解：(1)由题图4.1可得：中频增益为40dB ，即100倍，f H =106Hz, f L =10Hz （在f H 和f L 处，增益比中频增益下降30dB ），Hz BW 66101010≈-=。 (2)当()()() ()mV t sin mV t sin u i 4 61022010410?+?=ππ时，其中f =104Hz 的频率在中频 段，而Hz f 6102?=的频率在高频段，可见输出信号要产生失真，即高频失真。 当()()() ()mV t sin mV t sin u i 4 102205210?+?=ππ时，f =5Hz 的频率在低频段，f =104Hz 的 频率在中频段，所以输出要产生失真，即低频失真。 4.2 某放大电路电压增益的渐近波特图如题图4.2所示。设中频相移为零。 (1)写出A u (jf)频率特性的表达式。 (2)求f=107Hz 处的相移值。 (3)求下限频率f L 的值。 (4)求f=100Hz 处实际的dB 值。 (5)求f=10Hz 和f=105Hz 的相移值。 题图4.1
解: (1)中频放大倍数为103，高频有一个极点频率为105Hz ，一个零点频率为106Hz ，低频有两个极点频率均为102Hz ，两个零点频率均为10Hz 。所以 ) 101()101()10 1()101(10)(522623 f j f j f j f j jf A v +-+-= (2)f=107Hz 处的相移为零 o Hz f o Hz f Hz f v L dB A Hz f 45|,90|)5(54lg 20)4(15512/10)3(510101002 1 2 -====-≈===?? 4.3 已知某晶体管电流放大倍数的频率特性波特图如题图4.3所示，试写出β的频率特性表 达式，分别指出该管的ωβ、ωT 各为多少？并画出其相频特性的近似波特图。 (b) 题图4.2
第五章特性要因图 69 第五章特性要因分析图 (Characteristic Diagram) 一．前言 所谓特性要因图确实是当一个问题的特性(结果)受到一些要因(缘故)的阻碍时,我们将这些要因加以整理,成为有相互关系且有系统的图形。简言之确实是将造成某项结果(特性)的诸多缘故(要因),以有系统的方式(图表)来表达结果与缘故之间的关系。[某项结果的形成,必定有其缘故;设法使用图解法找出这些缘故来]这概念是由日本品管大师石川馨博士首先提出的。特性要因图又因为是石川馨博士于1952年所发明,因此又称[石川图]。其要紧目的是阐明因果关系,也称[因果图]；又因为它的形状与鱼骨相似,故又常被称呼为[鱼骨图]。 要
二．特性要因图 1.缘故追求型:以列出可能会阻碍过程(或流程)的相关因 子,以便进一步由其中找出要紧缘故,并以此图形表示结 WHY?
70 品管七大手法 2. 对策追求型:此类型是将鱼骨图反转成鱼头向左的图形, 目的在于追求问题点应该如何防止,目标结果应如何达成的对策。故以特性要因图表示期望效果(特性)与对策(要因)间的关系。 三．如何绘制特性要因图 1. 确定特性:在未绘制之前, 首先应决定问题或质量的特
性是什么?一般来讲,特性能够体现为零件规格、帐款回收率、产品不合格率、客户抱怨、设备停机率、报废率等与质量有关或是以和成本有关的人事费、行政费、材料费等。 2. 绘制骨架:首先在纸张或其他用具(如白板)右方划一 “□”填上决定的特性,然后自左而右划出一条较粗的干线,并在线的右端与“□”接合处,划一向右的箭头。 图示: 3. 大略记载各类缘故:确定特性之后,就开始找出可能的 缘故,然后将各缘故用简单的字句,分不记在大骨上的“□”加上箭头分枝,以斜度约60°划向干线,划时应留4M+1E:人员方法(Methed)及环境(Environment)等五大类着手查找。 特 特
特性要因分析图 (Characteristic Diagram) 一． 前言 所谓特性要因图就是当一个问题的特性(结果)受到一些要因(原因)的影响时,我们将这些要因加以整理,成为有相互关系且有系统的图形。简言之就是将造成某项结果(特性)的诸多原因(要因),以有系统的方式(图表)来表达结果与原因之间的关系。[某项结果的形成,必定有其原因;设法使用图解法找出这些原因来]这概念是由日本品管大师石川馨博士首先提出的。特性要因图又因为是石川馨博士于1952年所发明,所以又称[石川图]。其主要目的是阐明因果关系,也称[因果图]；又因为它的形状与鱼骨相似,故又常被称呼为[鱼骨图]。 二．特性要因图 1.原因追求型:以列出可能会影响过程(或流程)的相关因子,以便进一步由其中找出主要原因,并以此图形表示结果与原因之间的关系。 70 品管七大手法 2.对策追求型:此类型是将鱼骨图反转成鱼头向左的图形,目的在于追求问题点应该如何防止,目标结果应如何达成的对策。故以特性要因图表示期望效果(特性)与对策(要因)间的关系。 WHY?
三．如何绘制特性要因图 1.确定特性:在未绘制之前,首先应决定问题或质量的特性是什么?一般来说,特性可以体现为零件规格、帐款回收率、产品不合格率、客户抱怨、设备停机率、报废率等与质量有关或是以和成本有关的人事费、行政费、材料费等。 2.绘制骨架:首先在纸张或其他用具(如白板)右方划一 “□”填上决定的特性,然后自左而右划出一条较粗的干线,并在线的右端与“□”接合处,划一向右的箭头。 图示: 3.大略记载各类原因:确定特性之后,就开始找出可能的原因,然后将各原因用简单的字句,分别记在大骨上的“□”加上箭头分枝,以斜度约60°划向干线,划时应留意较干线稍微细一些。各大要因记载可由4M +1E:人员(Man)．机械(Machine)．材料(Material)．方法(Methed)及环境(Environment)等五大类着手寻找。 71 4.依据大要因, 再分出中要因:细分出中要因的中骨线(同样为60°划线)应比大骨线细,中要因的选定约3—5个为宜 ,绘制时应将有因果关系的要因归纳在同一骨线内。 5.要更详细列出小要因:运用中要因同样的绘制方式,可将更详 特性 特性 特性
第四章 连续系统的频域分析例题详解 1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的频率函数为 )15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。 解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f )30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B = )]] 30([)]30([[2 1 )()]]30([)]30([[21 )(++-=++-= w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A
1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特 性()0?ω=，若输入 sin(2) (),()cos(1000)2t f t s t t t π==，求输出信号()y t 。 f () H j ω()0 ?ω=1/(.) rad s ω--1001 -999 0 999 10011 -1000 1000 图（b ） 图2
解 4sin(2)1 ()[ ]()22 t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++- 441 [()cos(1000)][()][cos(1000)]21 [(1000)(1000)] 4 F f t t F f t F t g g πωω= ?*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为 ()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得 22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得 2221 ()[(1000)(1000)] 4 1 ()[(1000)(1000)]4 Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++- 由此可得输出信号为 1 ()()cos(1000)2y t Sa t t π = 3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。若输入信号 t t t f ππ) sin()(= ，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。 图 3 解：信号t t t f ππ) sin()(= 的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。 u r R1 u c R2 C R2 R1 u r u c (a) (b) 题5-1图 R-C网络 解（a)依图： ? ? ? ? ?? ? ? ? + = = + = + + = + + = 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 )1 ( 1 1 ) ( ) ( R R C R R T C R R R R K s T s K sC R sC R R R s U s U r cτ τ ω ω τ ω ω ω ω ω 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1( ) ( ) ( ) ( jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a+ + = + + + = = (b)依图： ? ? ? + = = + + = + + + = C R R T C R s T s sC R R sC R s U s U r c ) ( 1 1 1 1 ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2τ τ ω ω τ ω ω ω ω ω 2 2 2 1 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( jT j C R R j C R j j U j U j G r c b+ + = + + + = = 5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出) (t c s 和稳态误差) (t e s （1）t t r2 sin ) (= （2）) 45 2 cos( 2 ) 30 sin( ) (? - - ? + =t t t r 题5-2图反馈控制系统结构图
柏拉图(Pareto Diagram) 一、前言 由生产现场所收集到的数据，有效的加以分析、运用，才能成为有价值的数据。而将此数据加以分类、整理并作成图表，充分的掌握问题点及重要原因，则是目前不可或缺的管理工具。而最为现场人员广泛使用于数据管理的图表为柏拉图。 二、柏拉图的由来 意大利经济学家V.Pareto(1848-1923)在1897年分析社会经济结构时，赫然发现国民所得的大部份均集中于少数人身上，于是将所得的大小与拥有所得的关系加以整理。发现有一定的方程式可以表示，称为[柏拉图法则]。 1907年美国经济学者M.O.Lorenz使用累积分配曲线来描绘[柏拉图法则]，也就是经济学所谓的劳伦兹(Lorenz)曲线。 美国品管专家J.M.Juran(朱兰博士)将劳伦兹曲线应用于品管上，同时创出[Vital Few, Trivial Many] (重要的少数，次要的多数)的见解，并借用Pareto的名字，将此现象定为[柏拉图原理]。 [柏拉图]方法，由品管圈(QCC)的创始人日本石川馨博士介绍到品管圈活动中使用，而成为之一。 三、柏拉图的定义 1.根据所搜集的数据，按不良原因、不良状况、不良项目、不良 发生的位置等不同区分标准而加以整理、分类，从中寻求占最 大比率的原因、状况或位置，按其大小顺序排列，再加上累积 值的图形。 2.从柏拉图可看出那一项目有问题，其影响度如何，以判断问题 的症结所在，并针对问题点采取改善措施，故又称为ABC图。 （所谓ABC分析的重点是强调对于一切事务，依其价值的大小 而付出不同的努力，以获至效果；亦即柏拉图分析前面2-3项 重要项目的控制）。 3.又因图的排列系按大小顺序排列，故又可称为排列图。
习题 4.1 已知某放大器的幅频特性如题图4.1所示。 (1) 试说明该放大器的中频增益、上限频率f H 和下限频率f L 、通频带BW 。 (2) 当()()() ()mV t sin mV t sin u i 461022010410?+?=ππ和 ()()() ()mV t sin mV t sin u i 4102205210?+?=ππ时，输出信号有无失真？是何种性质 的失真？分别说明之。 解：(1)由题图4.1可得：中频增益为40dB ，即100倍，f H =106Hz, f L =10Hz （在f H 和f L 处，增益比中频增益下降30dB ），Hz BW 66101010≈-=。 (2)当()()() ()mV t sin mV t sin u i 461022010410?+?=ππ时，其中f =104Hz 的频率在中频段，而Hz f 6102?=的频率在高频段，可见输出信号要产生失真，即高频失真。 当()()() ()mV t sin mV t sin u i 4102205210?+?=ππ时，f =5Hz 的频率在低频段，f =104Hz 的频率在中频段，所以输出要产生失真，即低频失真。 4.2 某放大电路电压增益的渐近波特图如题图4.2所示。设中频相移为零。 (1)写出A u (jf)频率特性的表达式。 (2)求f=107Hz 处的相移值。 (3)求下限频率f L 的值。 (4)求f=100Hz 处实际的dB 值。 题图4.1
(5)求f=10Hz 和f=105Hz 的相移值。 解: (1)中频放大倍数为103，高频有一个极点频率为105Hz ，一个零点频率为106Hz ，低频有两个极点频率均为102Hz ，两个零点频率均为10Hz 。所以 ) 101()101()10 1()101(10)(522623 f j f j f j f j jf A v +-+-= (2)f=107Hz 处的相移为零 o Hz f o Hz f Hz f v L dB A Hz f 45|,90|)5(54lg 20)4(15512/10)3(510101002 1 2-====-≈===?? 4.3 已知某晶体管电流放大倍数的频率特性波特图如题图4.3所示，试写出β的频率特性表 达式，分别指出该管的ωβ、ωT 各为多少？并画出其相频特性的近似波特图。 题图4.2
特性要因图 特性要因分析图 (Characteristic Diagram) 一．前言 所谓特性要因图就是当一个问题的特性(结果)受到一些要因(原因)的影响时,我们将这些要因加以整理,成为有相互关系且有系统的图形。简言之就是将造成某项结果(特性)的诸多原因(要因),以有系统的方式(图表)来表达结果与原因之间的关系。[某项结果的形成,必定有其原因;设法使用图解法找出这些原因来]这概念是由日本品管大师石川馨博士首先提出的。特性要因图又因为是石川馨博士于1952年所发明,所以又称[石川图]。其主要目的是阐明因果关系,也称[因果图]；又因为它的形状与鱼骨相似,故又常被称呼为[鱼骨图]。 二．特性要因图 1.原因追求型:以列出可能会影响过程(或流程)的相关因子,以便 进一步由其中找出主要原因,并以此图形表示结果与原因之间 的关系。 WHY?
2.对策追求型:此类型是将鱼骨图反转成鱼头向左的图形,目的在于追求问题点应该如何防止,目标结果应如何达成的对策。故以特性要因图表示期望效果(特性)与对策(要因)间的关系。 三．如何绘制特性要因图 1.确定特性:在未绘制之前,首先应决定问题或质量的特性是什么?一般来说,特性可以体现为零件规格、帐款回收率、产品不合格率、客户抱怨、设备停机率、报废率等与质量有关或是以和成本有关的人事费、行政费、材料费等。 2.绘制骨架:首先在纸张或其他用具(如白板)右方划一 “□”填上决定的特性,然后自左而右划出一条较粗的干线,并在线的右端与“□”接合处,划一向右的箭头。 图示: 3.大略记载各类原因:确定特性之后,就开始找出可能的原因,然后将各原因用简单的字句,分别记在大骨上的“□”加上箭头分枝,以斜度约60°划向干线,划时应留意较干线稍微细一些。各大要因记载可由4M +1E:人员(Man)．机械(Machine)．材料(Material)．方法(Methed)及环境(Environment)等五大类着手寻找。 4.依据大要因, 再分出中要因:细分出中要因的中骨线( 同样为 特性 特性
第五章系统的频率特性分析 本章目录 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 乃奎斯特稳定判据 5.5 相对稳定性分析 5.6 频域性能指标和时域性能指标的关系 小结 本章简介 在经典的控制系统分析方法中，有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性能进行分析和校正的：其一是上一章的根轨迹法，其二即本章介绍的频率特性分析法。频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。 与其它方法相比较，频率响应法还具有如下的特点： 1）频率特性除可以由前述传递函数确定外，也可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，特别便于工程上的应用。 2）由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量较少的特点。 3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 由于上述的特点，频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个重要内容，而且它的有关理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中。
本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后，着重于开环控制系统的频率特性分析：极坐标图(Nyquist图)和半对数坐标图(Bode图)，同时将应用Matlab工具分析控制系统的频率特性，最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系，并研究它们与控制系统性能指标的关系。 5.1频率特性 频率特性又称频率响应，它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性。系统的频率特性可由两个方法直接得到：(1) 机理模型—传递函数法；(2) 实验方法。 5.1.1 由传递函数求系统的频率响应 设系统的开环传递函数 （5—1） 对应的频率特性为 （5—2） 如果在S平面的虚轴上任取一点，把该点与的所有零、极点连接成向量，并将这些向量分别以极坐标的形式表示： 则式（5－3）可改写为 （5－3） 由上式得到其对应的幅值和相角：
