专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
第1章:复数与复变函数 §1 复数 1.复数域 形如iy x z +=的数,称为复数,其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =, z y Im = 虚部为零的复数可看成实数,虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。 设 ,复数的四则运算定义为 加(减)法: 乘法: 除法: 相等: 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后,称为复数域. 在复数域中,复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求 2 1 z z . 分析:直接利用运算法则也可以,但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ,在分子分母同乘2z ,再利用1i 2-=,得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2.复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上,从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系,且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的,即满足平行四边形法则,例如: 这样,构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3. 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值,即:
高二数学复数复习 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位,并规定:①i 可与实数进行四则运算;②21i =-;这样方程 21x =-就有解了,解为x i =或x i =- 2、复数的概念 (1)定义:形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,a 叫做 ,b 叫做 。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示 (2)分类: 例题:当实数m 为何值时,复数226(2)m m z m m i m +-=+-为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==?+=+ 也就是说,两个复数相等,充要条件是 注意:只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小 例题:已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = , y = . 三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==?,bi a z +=的共轭复数记作 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做 ,y 轴叫做 。显然,实轴上的点都表示实数;除了 外,虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义
复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→ ),(R b a ∈是 关系 例题:复平面内)6,2(=→AB ,已知→→AB CD //,求→ CD 对应的复数。 3、复数的模: 向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模,记作z 或bi a +,表示点),(b a 到原点的距离,即=z 22b a bi a +=+,z z = 若bi a z +=1,di c z +=2,则21z z -表示 之间的,即12z z -=例题:已知i z +=2,求i z +-1的值 五、复数的运算 (1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ?êR ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2 221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= 例题:(1) )35()43i i --++(; (2))45)(3-4i i --(; (3)i i 311++; (4)i i i i +--13222-1 (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义,即OZ →=OZ 1→+OZ 2→,Z 1Z 2→=OZ 2→-OZ 1→. 例题:ABCD 是复平面内的平行四边形,,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+,i -,i +2,则点D 对应的复数为 六、常用结论 (1)i ,12-=i ,i i -=3,14=i =675i (2)自己证明:i i 2)1(2=+,i i 2)1(2-=-,1)2 321(3=±-i ,
复数的四则运算同步练习题 一、选择题 1. 若复数z 满足z +i -3=3-i ,则z 等于 ( D ) A .0 B .2i C .6 D .6-2i 2. 复数i +i 2在复平面内表示的点在( B ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3. 复数z 1=3+i ,z 2=-1-i ,则z 1-z 2等于( C ) A .2 B .2+2i C .4+2i D .4-2i 4. 设z 1=2+b i ,z 2=a +i ,当z 1+z 2=0时,复数a +b i 为( D ) A .1+i B .2+I C .3 D .-2-i 5. 已知|z |=3,且z +3i 是纯虚数,则z 等于( B ) A .-3i B .3i C .±3i D .4i 6. 复数-i +1i 等于( A ) A .-2i B.12i C .0 D .2i 7. i 为虚数单位,1i +1i 3+1i 5+1 i 7等于( A ) A .0 B .2i C .-2i D .4i 8. 若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( D ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =-1,b =-1 D .a =1,b =-1 9. 在复平面内,复数i 1+i +(1+3i)2对应的点位于( B ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 10. 设复数z 的共轭复数是z ,若复数z 1=3+4i ,z 2=t +i ,且z 1·z 2是实数,则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C .-43 D .-34 11. 若z =1+2i i ,则复数z 等于( D ) A .-2-i B .-2+I C .2-i D .2+i 12.复数11z i =-的共轭复数是( B ) A .i 2121+ B .i 21 21- C .i -1 D .i +1 13.=++-i i i 1) 21)(1(( C ) A .i --2 B .i +-2 C .i -2 D .i +2 14. 若复数z 1=1+i ,z 2=3-i ,则z 1·z 2等于( A ) A .4+2i B .2+i C .2+2i D .3+i 15. 已知a +2i i =b +i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b 等于( B ) A .-1 B .1 C .2 D .3 16.若x -2+y i 和3x -i 互为共轭复数,则实数x 与y 的值是( D ) A .x =3,y =3 B .x =5,y =1 C .x =-1,y =-1 D .x =-1,y =1 17.在复平面内,复数i 1+i +(1+3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 18.设i 是虚数单位,_ z 是复数z 的共轭复数,若,,则z =( A ) (A )1+i (B )1i - (C )1+i - (D )1-i - 19.若复数z 满足 (3-4i)z =|4+3i |,则z 的虚部为( D ) (A)-4 (B )-45 (C )4 (D )45 20.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z =( A ) (A )i +-1 (B )i --1 (C )i +1 (D )i -1 21.复数z 满组(3)(2)5--=z i (z 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( D )
复数专题 一、选择题 1 .(2012年高考(天津理)) i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ ( ) A .2i + B .2i - C .2i -+ D .2i -- 2 .(2012年高考(新课标理))下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ( ) A .23,p p B .12,p p C .,p p 24 D .,p p 34 3 .(2012年高考(浙江理))已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= ( ) A .1-2i B .2-i C .2+i D .1+2i 4 .(2012年高考(四川理))复数2(1)2i i -= ( ) A .1 B .1- C . i D .i - 5 .(2012年高考(上海理))若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 ( ) A .3,2==c b . B .3,2=-=c b . C .1,2-=-=c b . D .1,2-==c b . 6 .(2012年高考(陕西理))设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7 .(2012年高考(山东理))若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 ( ) A .35i + B .35i - C .35i -+ D .35i -- 8 .(2012年高考(辽宁理))复数 22i i -=+ ( ) A .34i - B .34i + C .41i - D .3 1i +
《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】:会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】:理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】: 一、 问题情景: 问题1: 由初中学习我们可以知道: (2+3x )+(1-4x)=3-x 猜想: (2+3i )+(1-4i)= ? 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2:用字母表示数,你可以表示复数的运算法则和运算律吗? (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,(a,b,c,d ∈R )那么: z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然,两个复数的和仍是一个复数,复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有: z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义:把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi (x,y ∈R ),叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差,记作:x+yi =(a+bi )-(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义,有c+x=a , d+y=b 由此,x=a -c , y=b -d ∴ (a+bi )-(c+di) = (a -c) + (b -d)i 显然,两个复数的差仍然是一个复数 由此可见: 两个复数相加(减)就是把实部与实部,
导读:本文高二数学复数知识点总结,仅供参考,如果觉得很不错,欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复平面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模:
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的平方等于-1,即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0. 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。