圆的知识点及基础训练 第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点： 1、圆的概念及点与圆的位置关系 2、三角形的外接圆 3、垂径定理 4、垂径定理的逆定理及其应用 5、圆心角的概念及其性质 6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】 1、圆的定义：在同一平面，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。 2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。 3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。 4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆 5、点与圆的三种位置关系： 若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 。 6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。 9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】 【题型一】证明多点共圆 例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上 【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ） A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆最长的弦是直径 D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ） A ．三角形的三个顶点在同一个圆上 B ．过圆心的线段叫做圆的直径 C ．大于劣弧的弧叫优弧 D ．圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径 例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积
【最新整理，下载后即可编辑】 马克笔手绘动漫教程，不转后悔！经常有人询问如何去选色这是建议 如果喜欢小清新的可以再添加一些浅色系 灰色系列很重要尽量不好删减 我勾选的这张色卡不能保证你想要的所有色都有。但是颜色的几大色系已经全部在内肤色有七只
另外马克笔尽量多买颜色touch3也很便宜两元以内 差不多300左右就能秒了全色但是说真的我这里的全色我始终感觉还是缺了点什么。 总之马克笔当然是颜色越多越好了
相关工具 勾线工具 针管笔我用的是美辉和樱花！ 好处使用方便非常好控制。但是呢画出来的线条是死线！ 没有什么变化。也可以说是硬线条！ 还有就是这个笔勾的线、用橡皮一擦就会变淡！ 但是防水性很好！配合马克笔使用很不错！ 蘸水笔可以按照力度控制线条变化尤其是g笔尖如上图灵猫装的就是斑马g笔尖 线条固然好但是对于纸张要求苛刻马克笔纸无法使用我亲身体会。 一般来说用原稿纸最为合适。 而且需要墨水普通防水墨水不可以需要防酒精的
目前我用过可以防酒精的有证券墨水、灵猫二号墨水、价格都很高 如有用过其他墨水可以防酒精欢迎补充 水溶性彩铅这真的很重要重要到无法用语言形容 我觉得买马克笔一定要有这个笔作为辅助！ 千万不要用油性的。尤其是用比较贵的笔的人！ 因为那个笔画出来的线条如果用马克笔去涂。就会粘在马克笔上！ 而且效果很差，和和水溶性相比。与马克笔的融合差的太多！彩铅我现在用到的地方。主要是用来补色尤其是阴影。如肤色！还有就是处理环境色！以及做光的效果。和于马克笔融合组合出新的色彩！
如暖灰中略带点紫色！以及处理浅色。 修正白+细毛笔+蘸水笔 这种搭配要比高光笔好很多！ 而且可以画出很多效果! 以及火焰的高光部分还有如4l 第二张图的花瓣飞舞效果 都是出自细毛笔+修正白 另外马克笔不能再修正白上面画！ 软色粉！ 覆盖性强于水溶性彩铅n倍 但不适合处理细节。 可用于处理天空渐变撒红以及迷雾效果 另外还可以用来让一张画起死回生。使得底色过深的地方、利用强大的覆盖以及渐变效果加以修饰高光区域。
D. 120 AC=6cm , AD 平分/ BAC ，贝U AD 的长为（ A . ^/"^m B. ^/"^m 6.在O O 中，圆心角/ AOB=90°，点O 到弦A B 的距离为4,则O O 的直径的长为（ C . D . 4 cm A.4 B.8 C.24 D.16 二、填空题 1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角/ AOB = 2. ■如图，AB 是 O O 的直径，B C =Bb, / A=25 则/ BOD= 弧、弦、圆心角 知识点 1、 圆心角定义：顶点在 _________ 的角叫做圆心角 2、 定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 对应的其余各组量也分别 、选择题 1. 如果两个圆心角相等，那么（ A .这两个圆心角所对的弦相等 B ?这两个圆心角所对的弧相等 C .这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ?以上说法都不对 2. 下列语句中不正确的有（ ①相等的圆心角所对的弧相等 条直径所在直线都是它的对称轴 A.3个 B.2个 24.1 圆（第三课时） ，它们所 ） ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一 ④长度相等的两条弧是等弧 C.1个 D.以上都不对 3.已知篦、是同圆的两段弧, 且篦=2丘5，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ） A. AB=2CD B. AB<2CD C. AB>2CD D.不能确定 4.如图，AB 是 O O 的直径，C, D 是BE 上的三等分点，/ AOE=60 °，则/ COE 是（ 80 AB=10cm ，弦
1 3. 在O O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的 一，圆的半径等于12,则圆心角/ AOB = 4 弦AB 的长为 4.如图，在O O 中，AB =AC , / B=70 °则/ A 等于 5.如图，AB 和DE 是OO 的直径，弦 AC DE ，若弦BE=3，则弦CE= 6.等腰△ ABC 的顶角/ A = 120°,腰AB= AC = 10,A ABC 的外接圆半径等于 三、解答题 ,AB = AC ，/ACB= 60°，求证/ AOB =/ BOC =/ AOC. 1、如图，在O O 中 2、如图，在O O 中, B B A C B
双曲线的定义及性质练习题 一．选择题（共20小题） 1．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（） A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线 2．双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 3．如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2） 4．已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R 在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．在△ABC中，已知A（﹣4，0），B（4，0），且sinA﹣sinB=，则C的轨 迹方程是（） A．B． C．D． 6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（） A．B．C．D．
7．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D． 9．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（） A．B．C．D．2 10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 11．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（） A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 12．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（） A．B．3 C．m D．3m
马克笔特点及使用技巧 马克笔使用的一些注意事项： 1、用纸的时候一般选择吸水性差、纸质结实、表现光滑的纸张作画，比如马克笔专用纸、白卡纸等。 2、通过调整画笔的角度和笔头的倾斜度，达到控制线条粗细变化的笔触效果。 马克笔用笔要求速度快，肯定有力度。 马克笔不适合做大面积的涂染，需要概括性的表达，通过笔触的排列画出三四个层次即可，马克笔不适合表现细小的物体，如树枝、线状物体等。
马克笔线条练习
马克笔的作画步骤及基本技法： （1、准备2、草图3、正稿4、上色5、调整） 1、准备。 要想画出一幅成功的渲染图，前期的准备必不可少。马克笔的一大优势就是方便，快捷，工具也不像水彩水粉那麽复杂，有纸和笔就足够了。纸我通常用两种：一种是普通的复印纸，用来起稿画草图，另一种是硫酸纸（A3），用来描正稿和上色。硫酸纸是我非常喜欢的纸型，实践证明，马克笔在硫酸纸上的效果相当不错，优点是有合理的半透明度，也可吸收一定的颜色，可以多次叠加来达到满意的效果。复印纸等白纸类的吸收颜色太快，不利于颜色之间的过渡，画出来的往往偏重，不宜做深入刻画，只适用于草图和色练习。笔也需要两类，针管笔和马克笔。针管笔以一次性的为好，。一次性针笔在硫酸纸上挥发性好，线条流畅，注水的针笔或钢笔画出来干的很慢，很容易蹭脏画面。马克笔也根据个人喜好而定，但最好是油性的。 2、草图。 草图阶段主要解决两个问题：构图和色调，构图是一幅渲染图成功的基础，构图不重视的话，画到一半会发现毛病越来越多，大大影响作画的心情，最后效果自然废废啦。构图阶段需要注意的有透视，确定主体，形成趣味中心，各物体之间的比例关系，还有配景和主体的比重等等，，每幅都应有区分，或冷调，或暖调，或亮调，或灰调，不抠细节，挑出最有感染力的一幅作正稿时的参考，在这两个步骤完成后，心中对最后的效果应该有七八分的把握了。 3、正稿。 在这一阶段没有太多的技巧可言，完全是基本功的体现，，在这个过程中边勾边上明暗调子，逐渐形成整体，前景中对比，中景强对比，背景弱对比。前景的人物刻画要准确传神，动态协调，背景人物基本上可以用点和面代替。如果对明暗调子把握不准的话，可以只对主体部分做少量的刻画，剩下的由马克笔来完成，马克笔的表现力也足以主宰画面。 4、上色。 上色是最关键的一步我喜欢把大部分颜色上在硫酸纸的背面，这样做一是可以降低马克笔的彩度，过于鲜艳的颜色可能使画面过“火”，大面积的灰色才能使渲染图经久耐看，另外，背面上色也不会把正稿的墨线洇开，造成画面的脏乱。以上图为例，我先从天空入手，用浅紫灰色画最远处的，然后是浅蓝灰，最上面是蓝色，画天空时不要太多的停顿，几种色之间的衔接要快，迅速溶到一起，并在适当的地方留出云形，笔触不能太强，以免呆板。天空在画面中占三分之一还多，作为补充，不宜过多刻画，避免喧宾夺主。初学者如果没把握的话，可先用描图纸多作几幅单独的天空块，挑最有感觉的用到正图上去。接下来是水面，颜色尽量和天空保持一致，可以再稍灰些，然后再上树木的颜色，背景的冷灰，偏蓝绿，对比弱，分出明暗就可以了，前面的偏暖，对比强，有一定的细节，颜色更加丰富。地面和草地的颜色上完，画面气氛基本形成，下一步就要做深入刻画，浅浅的一层颜色并不能表现出物体光影，明暗，材质的变化，这就需要不停的叠加来达到更佳的效果，在这一过程中，我开始利用正面刻画一些需要重点表现的地方，如主体构筑物，前景人物，石头，在画膜结构时我有意把后面的树木画暗些，衬托出来，用重色刻画暗部和阴影，几次重叠以后，预想的效果基本就达到了。这一过程也是经验积累的过程，哪些颜色叠加到一起能产生好的效果必须要记住，随时做记录，以便下次画相同的场景时驾轻就熟，事半功倍，很多颜色忌重叠，如补色，很容易画脏画乱，不好修改。 一个基本的原则是由浅入深，一开始往死里整，修改起来将变得困难，在作画过程中时刻把整体放在第一位，不要对局部过度着迷，忽略整体，后果将惨不忍睹，“过犹不及”应该牢记。必
垂径定理 知识点 1、 垂径定理：垂直于弦的直径 _____________ ，并且平分弦所对的 _ 2、 推论：平分弦（不是直径）的直径 ______________ ，并且平分弦所对的 【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦 ⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意 解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3、垂径定理常用作计 算，在半径r 、弦a 、弦心d 和■拱高h 中已知两个可求另外两个】 C , AB=4 , 0C=1，贝U OB 的长是( 3.在半径为5cm 的圆中，弦 AB // CD,AB=6cm , CD=8cm ，贝U AB 和CD 的距离是 A.7cm B.1cm C.7cm 或 4cm 5. 如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB ，垂足为 M ，下列结论不成立的是（ 24.1 圆（第二课时） 2.如图，O O 的半径为5, .弦 AB=8, A.2 B.3 A CD B M 是弦AB 上的动点，则 OM 不可能为（ C.4 D.5 ). D.7cm 或 1cm 4.如图，AB 是O O 的弦，半径 OA = 2, / -AOB = 120 °，则弦 AB 的长是（ ). B (B) 2J3 (c) 75 ). A . CM=DM B . CB = DB C . / ACD= / ADC D . OM =MD 、选择题 OC 丄弦AB 于点
AB 为O O 的直径，弦CD 丄AB 于E ,已知CD=12 , BE=2，则O O 的直径为（ ） B . 10 C . 16 D . 20 6.如图，在半径为 则OP 的长为（ 5的O O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P ,且AB=CD=8 , ） 7.如图, A . 8 8、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 最深地方的高度为 2cm ，则该输水管的半径为（ ） A . 3cm B . 4cm C . AB 宽为8cm ，水面 二、填空题 1.如图，AB 是O O 的直径, 5cm D . 6cm BC 是弦，OD 丄BC ,垂足为D ,已知OD=5,则弦AC= 2、如图AB 是O O 的直径, / BAC=42。，点D 是弦AC 的中点，则/ DOC 的度数是 __________ 度. B
专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 A 组 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( C ) A ．(1 2，2) B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(1 2 ，1) [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ?? ?? 2k －1>2－k ，2－k >0，解得1
( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求 出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)， ∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2 ，∴e ＝c a ＝53 ，故选D ． (理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长 为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 ( D ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－ C ．x 24－y 2 4 ＝1 2 －12 ＝[解析] 为矩形．双曲线的渐近线方程为 y ＝±b x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4y ＝b 2 x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝ 4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2 ＝12， D ． C 于A ，B 两点，交C 的准线于 D ， E 两点．已 ( B ) B ．4 D ．8 [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2 4 ＋5， 得p ＝4.故选B ． (理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2 ＝1(n >0)的焦 点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则 ( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1
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蘸水笔可以按照力度控制线条变化尤其是g笔尖如上图灵猫装的就是斑马g 笔尖 线条固然好但是对于纸张要求苛刻马克笔纸无法使用我亲身体会。 一般来说用原稿纸最为合适。 而且需要墨水普通防水墨水不可以需要防酒精的 目前我用过可以防酒精的有证券墨水、灵猫二号墨水、价格都很高 如有用过其他墨水可以防酒精欢迎补充 水溶性彩铅这真的很重要重要到无法用语言形容
我觉得买马克笔一定要有这个笔作为辅助！ 千万不要用油性的。尤其是用比较贵的笔的人！ 因为那个笔画出来的线条如果用马克笔去涂。就会粘在马克笔上！ 而且效果很差，和和水溶性相比。与马克笔的融合差的太多！ 彩铅我现在用到的地方。主要是用来补色尤其是阴影。如肤色！ 还有就是处理环境色！以及做光的效果。和于马克笔融合组合出新的色彩！如暖灰中略带点紫色！以及处理浅色。 修正白+细毛笔+蘸水笔 这种搭配要比高光笔好很多！
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性 质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质． 2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点) 3．掌握诱导公式及其应用．(重点) 1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养． 1．正弦函数、余弦函数的基本性质 从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ； (2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )； (4)在[0，2π]上的单调性为：在??????0，π2上是单调递增；在?????? π2，32π上是单调递减； 在???? ?? 3π2，2π上是单调递增． 同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质． 思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1. 2．诱导公式的推导
(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中 α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称． ②公式 sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α； sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． (2)诱导公式? ?? ?? π2±α的推导 ①π 2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称． ②公式 sin ? ????π2－α＝cos α，cos ? ???? π2－α＝sin α 用－α代替α并用前面公式 sin ? ????π2＋α＝cos α，cos ? ?? ?? π2＋α＝－sin α 思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？ [提示] 它们的对应关系如表： 相关角 终边之间的对应关系 2k π＋α与α 终边相同 π＋α与α 关于原点对称 －α与α 关于x 轴对称 2π－α与α 关于x 轴对称 π－α与α 关于y 轴对称 1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A.sin ? ?? ?? π2＋α＝－cos α
复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？
∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE =DE ⌒ ⌒ =BE =BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 O B A C D O B C A O B C A D E D C O A B E O D B C A
24．1 圆 教学目标 1、知识与技能：了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． 2、过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动． 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 教学重点：1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 °的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 教学难点 1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题． 2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导， 并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 第一课时 24.1.1圆 本节课主要让学生自学为主，明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非
圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。 教学过程： 一、引入：通过图片展示圆在生产、生活中的应用。 二、探索新知： 展示自学成果，有同学介绍圆的定义及相关概念。 思考1、车轮为什么做成圆形的？ 思考2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由. 思考3、判断正误：1）、弦是直径； 2）半圆是弧； 3）过圆心的线段是直径； 4）过圆心的直线是直径； 5)半圆是最长的弧； 6 )直径是最长的弦； 7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; 8 )半径相等的两个圆是等圆； 9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。 练习：P80 三、归纳小结：有学生自己讨论，老师完善。 四、布置作业： 五、课后反思： 本节课采用学生预习之后尝试回忆的方法来上课。感觉学生的积极性较高。 第二课时 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．
第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计 算问题 A 组 1．抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B ) A ．y 2 ＝6x B ．y 2 ＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2 ＝152 x [解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2， 所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ， 解得x ＝3p 2 ，y ＝3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43， 解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2 ＝8x . 2．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两 条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D ) A ．m 2 －a 2 B ．m －a C ．1 2 (m －a ) D ．m －a [解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 3．(文)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为 ( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求
** 圆(第2课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角 ∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB =''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，?分别作相等的圆 心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． B A O B A O B ' B A A ' O
○………○………绝密★启用前 江苏省海安高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试数 学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若集合 求 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知 ， 是虚数单位，若 ，则 的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ． 3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．1)- B ．(- C ．(1)- D ．(1,- 4．将函数24y x π? ?=+ ?? ?的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式 为（ ） A ．5212y x π? ?= - ?? ? B ．5212y x π? ?= + ?? ? C ．212y x π? ?= - ?? ? D ．212y x π? ?= + ?? ? 5．设实数， 满足的约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
6．若函数22 ,0 ()(),0 x x x f x a R x ax x ?+≥=∈?-> B ．()()()02f a f f a >> C ．()()()20f a f a f >> D ．()()()20f a f f a >> 7．已知圆 的圆心为C ，过点 且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部 分 8．对于ABC ?，若存在111A B C ? ，满足 111 cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===，则称ABC ?为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足（ ）． A ．有一个内角为30° B ．有一个内角为45? C ．有一个内角为60? D ．有一个内角为75? 9．已知 ， ＜ 的展开式中没有常数项，则n 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1 2 1 2 ,x x x x <， 则a 的取值范围是（ ） A ．10,2? ? ??? B ．()1,3 C ．1,32?? ??? D ．1,12?? ???
组合数的性质 主备人：邹锦程 教学目标： 1、使学生理解利用组合数公式证明组合数性质的过程，提高学生式的变形能力，使学生认识组合数性质的组合意义； 2、使学生掌握组合数的性质； 3、使学生能解决简单的组合应用题，发展逻辑思维能力； 教学重点： 1、组合数性质的组合意义及组合数性质的应用。 2、简单组合应用题的分析。 教学难点：简单组合应用题的分析。 教学仪器：投影仪 第一课时 组合数性质的推导与应用 一、复习： 1、组合、组合数的意义 2、组合数公式 二、问题引导： 1、从e d c b a ,,,,五个元素中，每次取2个元素的组合共有多少个？每次取3个元素的组合共有多少个？它们之间有关系？ 2、从1+n 个元素1321,,,,+n a a a a 里每次取出m 个不同的元素（m ≤n ），问： ①可以组成多少个组合？ ②在这些组合里，有多少个是含有1a 的？ ③在这些组合中，有多少个是不含有1a 的？ ④从上面结果可以得出一个什么样的公式？ 三、从问题归纳出结论： 定理1：m n n m n C C -= 定理2：m n m n m n C C C 11+-=+ 四、运用组合数公式证明定理1、定理2 启发学生自己完成。 说明： 1、2 n m >时，用m n n C -代替m n C 计算可减少运算量。 2、为使定理1在n m =时仍成立，规定0n C =1。 3、定理2公式的特点与记忆方法。 五、组合数性质的应用： 1、学生口答课本P 241的例1。 2、学生练习课本P 243 5④⑤⑥ 思考：如何从组合意义上去理解 55545352515052=+++++C C C C C C ？ 让学生设计一个应用题。 3、《苏大》P 105例题3（运用定理2证明） 六、学生小结：
